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判断链表是否有环以及环的入口点

2012年08月30日 综合技术 暂无评论 阅读 1,139 次
有几种解法:
1. 遍历链表,将已经遍历过的节点放在一个hash表中,如果一个节点已经存在hash表中,说明有环。时间:O(n) 空间:O(n)
2. 反转链表 时间O(n),空间O(1),使用三个指针
3. 快慢指针。 时间O(n), 空间O(1),使用两个指针
参考:
http://kb.cnblogs.com/page/52054/
http://www.cnblogs.com/shawn-zhou/archive/2008/11/26/1341307.html
http://kb.cnblogs.com/page/52054/
http://keep.javaeye.com/blog/293454
【摘要】有一个单链表,其中可能有一个环,也就是某个节点的next指向的是链表中在它之前的节点,这样在链表的尾部形成一环。1、如何判断一 个链表是不是这类链表?2、如果链表为存在环,如何找到环的入口点?扩展:判断两个单链表是否相交,如果相交,给出相交的第一个点。

有一个单链表,其中可能有一个环,也就是某个节点的next指向的是链表中在它之前的节点,这样在链表的尾部形成一环。

问题:

1、如何判断一个链表是不是这类链表?
2、如果链表为存在环,如何找到环的入口点?

解答:

一、判断链表是否存在环,办法为:

设置两个指针(fast, slow),初始值都指向头,slow每次前进一步,fast每次前进二步,如果链表存在环,则fast必定先进入环,而slow后进入环,两个指针必定相遇。(当然,fast先行头到尾部为NULL,则为无环链表)程序如下:

bool IsExitsLoop(slist * head)
{
slist * slow = head ,  * fast = head;

while  ( fast  &&  fast -> next )
{
slow  =  slow -> next;
fast  =  fast -> next -> next;
if  ( slow  ==  fast )  break ;
}

return   ! (fast  ==  NULL  ||  fast -> next  ==  NULL);
}

 

二、找到环的入口点

当fast若与slow相遇时,slow肯定没有走遍历完链表,而fast已经在环内循环了n圈(1<=n)。假设slow走了s步,则 fast走了2s步(fast步数还等于s 加上在环上多转的n圈),设环长为r,则:

2s = s + nr
s= nr

设整个链表长L,入口环与相遇点距离为x,起点到环入口点的距离为a。
a + x = nr
a + x = (n – 1)r +r = (n-1)r + L - a
a = (n-1)r + (L – a – x)

(L – a – x)为相遇点到环入口点的距离,由此可知,从链表头到环入口点等于(n-1)循环内环+相遇点到环入口点,于是我们从链表头、与相遇点分别设一个指针,每次各走一步,两个指针必定相遇,且相遇第一点为环入口点。

程序描述如下:

slist *  FindLoopPort(slist * head)
{
slist * slow  =  head,  * fast  =  head;

while  ( fast  &&  fast -> next )
{
slow  =  slow -> next;
fast  =  fast -> next -> next;
if  ( slow  ==  fast )  break ;
}

if  (fast  ==  NULL  ||  fast -> next  ==  NULL)
return  NULL;

slow  =  head;
while  (slow  !=  fast)
{
slow  =  slow -> next;
fast  =  fast -> next;
}

return  slow;
}

 

附一种易于理解的解释:

 

一种O(n)的办法就是(搞两个指针,一个每次递增一步,一个每次递增两步,如果有环的话两者必然重合,反之亦然):
关于这个解法最形象的比喻就是在操场当中跑步,速度快的会把速度慢的扣圈

可以证明,p2追赶上p1的时候,p1一定还没有走完一遍环路,p2也不会跨越p1多圈才追上

我们可以从p2和p1的位置差距来证明,p2一定会赶上p1但是不会跳过p1的

因为p2每次走2步,而p1走一步,所以他们之间的差距是一步一步的缩小,4,3,2,1,0 到0的时候就重合了

根据这个方式,可以证明,p2每次走三步以上,并不总能加快检测的速度,反而有可能判别不出有环

既然能够判断出是否是有环路,那改如何找到这个环路的入口呢?

解法如下: 当p2按照每次2步,p1每次一步的方式走,发现p2和p1重合,确定了单向链表有环路了

接下来,让p2回到链表的头部,重新走,每次步长不是走2了,而是走1,那么当p1和p2再次相遇的时候,就是环路的入口了。

这点可以证明的:

在p2和p1第一次相遇的时候,假定p1走了n步骤,环路的入口是在p步的时候经过的,那么有

p1走的路径: p+c = n;         c为p1和p2相交点,距离环路入口的距离

p2走的路径: p+c+k*L = 2*n;   L为环路的周长,k是整数

显然,如果从p+c点开始,p1再走n步骤的话,还可以回到p+c这个点

同时p2从头开始走的话,经过n步,也会达到p+c这点

显然在这个步骤当中p1和p2只有前p步骤走的路径不同,所以当p1和p2再次重合的时候,必然是在链表的环路入口点上。

 

 

 

扩展问题:

判断两个单链表是否相交,如果相交,给出相交的第一个点(两个链表都不存在环)。

比较好的方法有两个:

一、将其中一个链表首尾相连,检测另外一个链表是否存在环,如果存在,则两个链表相交,而检测出来的依赖环入口即为相交的第一个点。

二、如果两个链表相交,那个两个链表从相交点到链表结束都是相同的节点,我们可以先遍历一个链表,直到尾部,再遍历另外一个链表,如果也可以走到同样的结尾点,则两个链表相交。

这时我们记下两个链表length,再遍历一次,长链表节点先出发前进(lengthMax-lengthMin)步,之后两个链表同时前进,每次一步,相遇的第一点即为两个链表相交的第一个点。

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